Potenciação :

As principais operações são: adição, subtração, divisão e multiplicação. Utilizando o processo da multiplicação podemos encontrar outra operação: a potenciação, que para a realização de seus cálculos é necessário saber multiplicar.

Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.

2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16
           ↓
Fatores iguais.
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.


Representamos uma potência da seguinte forma:



A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.

http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/potenciacao.htm 

• 3º caso: Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

sim:

Exemplos: As

a)

b)

c)

Observação:

Sendo n um número inteiro, temos:

1a)  a = 0 e n > 0 aⁿ = 0
2a)  a = 0 e n < 0 aⁿ R
3a)  a > 0 aⁿ > 0
4a)  a < 0 e n par aⁿ > 0
5a)  a < 0 e n ímpar aⁿ < 0

 

I) Toda potência de base 1 é igual a 1.

    

        Exemplos:

        1²    =1

        1⁶    =1

        1⁰    =1

        1¹⁰⁰=1
           5¹ = 5

II)           Toda potência de expoente 1 é igual à base.

       Exemplos:

   

       2¹  = 2  

       3¹  = 3

       5¹  = 5

       0¹  = 0

       a¹  = a

III )Toda potência de expoente zero vale 1.

       Exemplos:

      

       1⁰     = 1

       2⁰     = 1

       50⁰   = 1

       a⁰     = 1      com a diferente de zero.

  

IV ) Toda potência de base igual a zero e expoente diferente de zero, vale zero.

Exemplos: As

a)

b)

c)

    

        Exemplos:

       0¹      = 0

       0³      = 0

       0⁵      = 0

       0ⁿ      = 0      com n diferente de zero 

V ) Expoente inteiro negativo :

Exemplos:

a)

b)

c)

2. Propriedades

Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.

• P1: Produto de potências de mesma base

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Justificativa:

=

Assim: a^m · aⁿ = a^m+n.

Exemplos:

a) 2³ · 2⁵ = 2³⁺⁵ = 28

b) 4^x · 4^-x+2 = 4^x+(-x+2) = 42

c) 3 · 3² · 3⁶ = 3¹⁺²⁺⁶ = 39

• P2: Quociente de potências de mesma base

Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Justificativa:

1o. Sendo m > n, temos

2o. Se m = n, = 1= a^(m-n) = a⁰ = 1

3o. Se = a (m - n)

Exemplos:

a) = 2^6-2 = 24

b) = 5^x-2

c) = 4^(x+2)-(x-3) = 45

• P3: Produto de potências de mesmo expoente

Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.

Justificativa

Assim: aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ.

Exemplos
a) 2⁴ · 8⁴ = (2 · 8)⁴ = 16⁴
b) x³ · y³ · z³ = (x · y · z)³

• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Justificativa:


Assim:


Exemplos:
a)
b)

• P5: Potência de potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Justificativa:



Exemplos:
a) (23)² = 2^2.2 = 26
b) = 3^2.3.2 = 3¹²

Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 2³ · 2^-2 = 2^{3 + (-2)} = 2¹ (P1)
b) = 5^{2 - (-3)} = 5^{2 + 3} = 5⁵ (P2)
c) 5^-3 · 2^-3 = (5 · 2)^-3 = 10^-3 (P3)
d) (P4)
e) (P5)

Situações Especieais
A. (– a)ⁿ  e  –aⁿ

As potências (–a)ⁿ e –aⁿ , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:



Exemplos
a) (–2)⁴ = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –2⁴ = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)³ = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –2³ = – 2 · 2 · 2 = –8

B.
As potências , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

e


Exemplos
a) = (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36
b) = 32 · 2 · 2 = 38