Os números envolvidos em uma multiplicação são chamados de fatores e o resultado da multiplicação é o produto, quando os fatores são todos iguais existe uma forma diferente de fazer a representação dessa multiplicação que é a potenciação.
2 . 2 . 2 . 2 = 16 → multiplicação de fatores iguais. Podemos representar a mesma multiplicação da seguinte forma:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
↓
Fatores iguais.
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência.
Representamos uma potência da seguinte forma:

A base sempre será o valor do fator.
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/potenciacao.htm
• 3º caso: Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro
negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso
da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
sim:

Exemplos: As
a) 
b)
c)

b)

c)

Observação:
Sendo n um número inteiro, temos:
1a) a = 0 e n > 0

2a) a = 0 e n < 0



3a) a > 0

4a) a < 0 e n par

5a) a < 0 e n ímpar

I) Toda
potência de base 1 é igual a 1.
Exemplos:
12 =1
16 =1
10 =1
1100=1
51 = 5
51 = 5
II)
Toda potência de expoente 1 é
igual à base.
Exemplos:
21 = 2
31 = 3
51 = 5
01 = 0
a1 = a
III )Toda potência de
expoente zero vale 1.
Exemplos:
10 = 1
20 = 1
500 = 1
a0 =
1 com a diferente de zero.
IV ) Toda potência de base igual a
zero e expoente diferente de zero, vale zero.

Exemplos: As
a) 
b)
c)

b)

c)

Exemplos:
01 = 0
03 = 0
05 = 0
0n =
0 com n diferente de zero
V ) Expoente inteiro negativo :
2. Propriedades
• P1: Produto de potências de mesma base
=
Assim: am · an = am+n.
• P2: Quociente de potências de mesma base
1o. Sendo m > n, temos
Exemplos:
• P3: Produto de potências de mesmo expoente
Justificativa



Assim: an · bn = (ab)n.
Exemplos
a) 24 · 84 = (2 · 8)4 = 164
b) x3 · y3 · z3 = (x · y · z)3
• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Justificativa:


Assim:

Exemplos:
a)
b)
• P5: Potência de potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Justificativa:


Exemplos:
a) (23)2 = 22.2 = 26
b)
= 32.3.2 = 312
Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 23 · 2-2 = 23 + (-2) = 21 (P1)
b)
= 52 - (-3) = 52 + 3 = 55 (P2)
c) 5-3 · 2-3 = (5 · 2)-3 = 10-3 (P3)
d)
(P4)
e)
(P5)
Situações Especieais
A. (– a)n e –an
As potências (–a)n e –an , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:


Exemplos
a) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –23 = – 2 · 2 · 2 = –8
B.
As potências
, em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

e

Exemplos
a)
= (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36
b)
= 32 · 2 · 2 = 38
V ) Expoente inteiro negativo :

Exemplos:
a) 
b)
c)

b)

c)

2. Propriedades
Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.
• P1: Produto de potências de mesma base
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Justificativa:



Assim: am · an = am+n.
Exemplos:
a) 23 · 25 = 23+5 = 28
b) 4x · 4-x+2 = 4x+(-x+2) = 42
c) 3 · 32 · 36 = 31+2+6 = 39
• P2: Quociente de potências de mesma base
Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Justificativa:

1o. Sendo m > n, temos

2o. Se m = n,
= 1= a(m-n) = a0 = 1
3o. Se
= a (m - n)

3o. Se


Exemplos:
a)
= 26-2 = 24

b)
= 5x-2

c)
= 4(x+2)-(x-3) = 45

• P3: Produto de potências de mesmo expoente
Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.

Justificativa



Assim: an · bn = (ab)n.
Exemplos
a) 24 · 84 = (2 · 8)4 = 164
b) x3 · y3 · z3 = (x · y · z)3
• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Justificativa:



Assim:

Exemplos:
a)

b)

• P5: Potência de potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Justificativa:


Exemplos:
a) (23)2 = 22.2 = 26
b)

Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 23 · 2-2 = 23 + (-2) = 21 (P1)
b)

c) 5-3 · 2-3 = (5 · 2)-3 = 10-3 (P3)
d)

e)

Situações Especieais
A. (– a)n e –an
As potências (–a)n e –an , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:


Exemplos
a) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –23 = – 2 · 2 · 2 = –8
B.

As potências


e

Exemplos
a)

b)

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